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          重慶大學2003年碩士研究生入學考試試題

          高等代數試卷

          一、    填空題(36分)

          1.設n階方陣A滿足 ,其中E是單位矩陣, ,則 _____________

          2.設A、B均為n階方陣, , 為矩陣A的伴隨矩陣,則 ______

          3.設 , ,則B = _____________________

          4.設 ,其中 為任意3維實向量,則線性變換 下的矩陣表示為_________________________________

          5.設A是可逆矩陣, A的一個特征值,則A的伴隨矩陣 一定有一個特征值為________

          6.若方程 無解,則 ________;若此方程有惟一解,則 _______

          7.設 ,則 ______________________

          8.向量組 的秩等于__________,其一個最大無關組是________________

          9.設 ,則向量y的長度 ______________

          10.設n階方陣A的秩 ,n階方陣B的秩 ,則 的解空間的維數等于___________________

          二、    計算題(50分)

          1.  n維向量 ,令 ,求對角矩陣 和可逆矩陣P使得

          2.  5Euelid空間 的一組標準正交基, ,其中 ,求 的一組標準正交基

          3.  ,求A的初等因子和Jordan標準矩陣

          4.  n階方陣A滿足 ,且 ,證明A相似于對角陣,并求 的值

          5.  n階方陣, ,求矩陣 的行列式值

          三、    證明題(64分)

          1.設 中的兩個非平凡子空間,證明:在 中存在向量 使得 ;并在 中舉例說明此結論

          2.設 n維線性空間 的一組基,對任意n個向量 ,證明:存在惟一的線性變換T使得

          3.(1)設A、Bn階方陣,證明: 的充要條件是 的解均為 的解

          2)設A、Bn階方陣, ,證明對于任意可以相乘的矩陣C均有

          3)若有自然數k使得 ,則

          4.設An階實對稱方陣,

           1)若 ,則存在實(非負)整數r和可逆矩陣P使得

          2)記 ,給出S 的字空間的充分必要條件,并證明你的結論

          5.設實二次型 , A的特征值,證明存在非零向量 使得

          6.設 是三個多項式,證明:

           

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